Question

如图1，已知∠AOC=2∠BOC，∠AOC的余角比∠BOC小30°，
（1）求∠COB的度数；
（2）经过点O作射线OD，使得∠AOC=4∠AOD，求∠BOD的度数；
（3）如图2，在∠AOB的内部作∠EOF，OM、ON分别为∠AOE和∠BOF的平分线，当∠EOF绕点O在∠AOB的内部转动时，请说明∠AOB+∠EOF=2∠MON．

Answer 1

考点：角的计算,角平分线的定义

专题：

分析：（1）设∠BOC=x，则∠AOC=2x，根据，∠AOC的余角比∠BOC小30゜列方程求解即可；
（2）分两种情况：①当射线OD在∠AOC内部②当射线OD在∠AOC外部，分别求出∠BOD的度数即可；
（3）OM、ON分别为∠AOE和∠BOF的平分线，可得∠MOE=

1

2

∠AOE，∠FON=

1

2

∠BOF，所以∠MON=∠EOF+

1

2

（∠AOE+∠BOF），即可得2∠MON=2∠EOF+∠AOE+∠BOF=∠AOB+∠EOF．

解答：解：（1）设∠BOC=x，则∠AOC=2x，
依题意列方程90°-2x=x-30°，
解得：x=40°，
即∠COB=40゜．
（2）由（1）得，∠AOC=80°，∠AOB=∠AOC+∠BOC=120°，
①当射线OD在∠AOC内部时，∠AOD=20゜，
则∠BOD=∠AOB-∠AOD=120°-20°=100°；
②当射线OD在∠AOC外部时，∠AOD=20゜
则∠BOD=∠AOB+∠AOD=120゜+20°=140°；
（3）∵OM、ON分别为∠AOE和∠BOF的平分线，
∴∠MOE=

1

2

∠AOE，∠FON=

1

2

∠BOF，
∴∠MON=∠EOF+

1

2

（∠AOE+∠BOF），
∴2∠MON=2∠EOF+∠AOE+∠BOF=∠AOB+∠EOF．
即∠AOB+∠EOF=2∠MON．

点评：本题考查了角平分线的定义以及角的计算，还用到了方程的思想．注意（2）要根据射线OD的位置不同，分类讨论，分别求出∠BOD的度数．