题目内容
图形可以帮助刻画和描述问题；图形可以帮助发现和寻找解决问题的思路；图形可以帮助表述和记忆一些结果．积累一些图形模块，在类比发现中你会体验到问题解决的轻松，看图想事，看图说理一定会让你受益匪浅！
【探索与发现】
如图（1），梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O．则
=
成立吗？试说明理由．
【思路与分析】
过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥BD于点F．由于△ABD与△BCD同底不同高，所以二者的面积比可以转化为对应高的比；容易得到△AOE∽△COF，从而据相似三角形的性质，借助等量
的代换，
=
成立．如图（2），对于四边形ABCD，
=
的结论是否正确？试说明理由．
【应用与综合】
图（2）中的四边形ABCD沿BD边对折，连接并延长AC交BD（或其延长线）于点E，图（3）和图（4）是由此可能得到的情形：
在图（3）的情形下，试比较大小：
；（用“＞”或“＜”或“=”填空）
在图（4）的情形下，试比较大小：
；（用“＞”或“＜”或“=”填空）
【拓展与延伸】
（1）如图（5），E、F分别是△ABC两边AB、AC的中点，线段BF、CE相交于点P，则
= ；
（2）如图（6），E、F分别是△ABC两边AB、AC上的点，且 AE=mEB，AF=nFC，线段BF、CE相交于点P，则
= ．
（3）如图（7），在△ABC内任取一点P，连接并延长AP、BP、CP，分别交对边于点D、E、F，则
+
+
= ．
【探索与发现】
如图（1），梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O．则
| S△ABD |
| S△BCD |
| OA |
| OC |
【思路与分析】
过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥BD于点F．由于△ABD与△BCD同底不同高，所以二者的面积比可以转化为对应高的比；容易得到△AOE∽△COF，从而据相似三角形的性质，借助等量
| AE |
| CF |
| S△ABD |
| S△BCD |
| OA |
| OC |
| S△ABD |
| S△BCD |
| OA |
| OC |
【应用与综合】
图（2）中的四边形ABCD沿BD边对折，连接并延长AC交BD（或其延长线）于点E，图（3）和图（4）是由此可能得到的情形：
在图（3）的情形下，试比较大小：
| S△ABD |
| S△BCD |
| AE |
| CE |
在图（4）的情形下，试比较大小：
| S△ABD |
| S△BCD |
| AE |
| CE |
【拓展与延伸】
（1）如图（5），E、F分别是△ABC两边AB、AC的中点，线段BF、CE相交于点P，则
| CP |
| PE |
（2）如图（6），E、F分别是△ABC两边AB、AC上的点，且 AE=mEB，AF=nFC，线段BF、CE相交于点P，则
| CP |
| PE |
（3）如图（7），在△ABC内任取一点P，连接并延长AP、BP、CP，分别交对边于点D、E、F，则
| PD |
| AD |
| PE |
| BE |
| PF |
| CF |
考点：相似形综合题
专题：
分析：【探索与发现】如图（2），过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥BD于点F．由于△ABD与△BCD同底不同高，所以二者的面积比可以转化为对应高的比；容易得到△AOE∽△COF，从而根据相似三角形的性质，借助等量
的代换，
=
成立；
【应用与综合】
在图（3）的情形下，过点A作AM⊥BD于点M，过点C作CN⊥BD于点N．由于△ABD与△BCD同底不同高，所以二者的面积比可以转化为对应高的比；容易得到△AME∽△CNE，从而根据相似三角形的性质，借助等量
的代换，得到
=
；
在图（4）的情形下，过点A作AM⊥BD于点M，过点C作CN⊥BD于点N．由于△ABD与△BCD同底不同高，所以二者的面积比可以转化为对应高的比；容易得到△AME∽△CNE，从而根据相似三角形的性质，借助等量
的代换，得到
=
；
【拓展与延伸】
（1）如图（5），连结EF．利用同高不同底的三角形面积比等于底之比，可得
=
，
=
，再利用等比性质，可得
=
，然后根据相似三角形的性质及三角形中位线定理即可得出
=
=2；
（2）如图（6），连结EF．由前面结论可知，
=
，又S△BCF=
S△ABC，那么S△ABF=
S△ABC，S△BCF=
S△ABF，S△BEF=
S△ABF，进而得出
=
；
（3）如图（7），利用同高不同底的三角形面积比等于底之比，可得S△BDP：S△ABD=DP：AD，S△CDP：S△ACD=DP：AD，再利用等比性质，可得S△BCP：S△ABC=PD：AD①，同理可得，S△ACP：S△ABC=PE：BE②，S△ABP：S△ABC=PF：CF③，①+②+③即可得出
+
+
=1．
| AE |
| CF |
| S△ABD |
| S△BCD |
| OA |
| OC |
【应用与综合】
在图（3）的情形下，过点A作AM⊥BD于点M，过点C作CN⊥BD于点N．由于△ABD与△BCD同底不同高，所以二者的面积比可以转化为对应高的比；容易得到△AME∽△CNE，从而根据相似三角形的性质，借助等量
| AM |
| CN |
| S△ABD |
| S△BCD |
| AE |
| CE |
在图（4）的情形下，过点A作AM⊥BD于点M，过点C作CN⊥BD于点N．由于△ABD与△BCD同底不同高，所以二者的面积比可以转化为对应高的比；容易得到△AME∽△CNE，从而根据相似三角形的性质，借助等量
| AM |
| CN |
| S△ABD |
| S△BCD |
| AE |
| CE |
【拓展与延伸】
（1）如图（5），连结EF．利用同高不同底的三角形面积比等于底之比，可得
| S△BCP |
| S△BPE |
| CP |
| PE |
| S△PCF |
| S△PEF |
| CP |
| PE |
| S△BCF |
| S△BEF |
| CP |
| PE |
| CP |
| PE |
| BC |
| EF |
（2）如图（6），连结EF．由前面结论可知，
| S△BCF |
| S△BEF |
| CP |
| PE |
| 1 |
| n+1 |
| n |
| n+1 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| m+1 |
| CP |
| PE |
| m+1 |
| n |
（3）如图（7），利用同高不同底的三角形面积比等于底之比，可得S△BDP：S△ABD=DP：AD，S△CDP：S△ACD=DP：AD，再利用等比性质，可得S△BCP：S△ABC=PD：AD①，同理可得，S△ACP：S△ABC=PE：BE②，S△ABP：S△ABC=PF：CF③，①+②+③即可得出
| PD |
| AD |
| PE |
| BE |
| PF |
| CF |
解答：
解：【探索与发现】如图（2），对于四边形ABCD，
=
的结论正确．理由如下：
过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥BD于点F．
∵△ABD与△BCD同底不同高，
∴
=
．
∵△AOE∽△COF，
∴
=
，
∴
=
；
【应用与综合】
如图（3），过点A作AM⊥BD于点M，过点C作CN⊥BD于点N．
∵△ABD与△BCD同底不同高，
∴
=
．
∵△AME∽△CNE，
∴
=
，
∴
=
；
如图（4），过点A作AM⊥BE于点M，过点C作CN⊥BE于点N．
∵△ABD与△BCD同底不同高，
∴
=
．
∵△AME∽△CNE，
∴
=
，
∴
=
；
【拓展与延伸】
（1）如图（5），连结EF．
∵
=
，
=
，
∴
=
，
即
=
．
∵E、F分别是△ABC两边AB、AC的中点，
∴EF∥BC，EF=
BC，
∴△BCP∽△FEP，
∴
=
=2；
（2）如图（6），连结EF．
由前面结论可知，
=
．
∵△BCF与△ABF同高不同底，AF=nFC，
∴
=
=
，
∴S△BCF=
S△ABF，
∵△BEF与△ABF同高不同底，AE=mEB，
∴
=
=
，
∴S△BEF=
S△ABF，
∴
=
=
，
∴
=
；
（3）如图（7），
∵S△BDP：S△ABD=PD：AD，S△CDP：S△ACD=PD：AD，
∴（S△BDP+S△CDP）：（S△ABD+S△ACD）=PD：AD，
∴S△BCP：S△ABC=PD：AD①，
同理S△ACP：S△ABC=PE：BE②，S△ABP：S△ABC=PF：CF③，
①+②+③，得（S△BCP+S△ACP+S△ABP）：S△ABC=
+
+
，
∵S△BCP+S△ACP+S△ABP=S△ABC，
∴
+
+
=1．
故答案为=；=；2；
；1．
解：【探索与发现】如图（2），对于四边形ABCD，| S△ABD |
| S△BCD |
| OA |
| OC |
过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥BD于点F．
∵△ABD与△BCD同底不同高，
∴
| S△ABD |
| S△BCD |
| AE |
| CF |
∵△AOE∽△COF，
∴
| OA |
| OC |
| AE |
| CF |
∴
| S△ABD |
| S△BCD |
| OA |
| OC |
【应用与综合】
如图（3），过点A作AM⊥BD于点M，过点C作CN⊥BD于点N．∵△ABD与△BCD同底不同高，
∴
| S△ABD |
| S△BCD |
| AM |
| CN |
∵△AME∽△CNE，
∴
| AE |
| CE |
| AM |
| CN |
∴
| S△ABD |
| S△BCD |
| AE |
| CE |
如图（4），过点A作AM⊥BE于点M，过点C作CN⊥BE于点N．
∵△ABD与△BCD同底不同高，
∴
| S△ABD |
| S△BCD |
| AM |
| CN |
∵△AME∽△CNE，
∴
| AE |
| CE |
| AM |
| CN |
∴
| S△ABD |
| S△BCD |
| AE |
| CE |
【拓展与延伸】
（1）如图（5），连结EF．
∵
| S△BCP |
| S△BPE |
| CP |
| PE |
| S△PCF |
| S△PEF |
| CP |
| PE |
∴
| S△BCP+S△PCF |
| S△BPE+S△PEF |
| CP |
| PE |
即
| S△BCF |
| S△BEF |
| CP |
| PE |
∵E、F分别是△ABC两边AB、AC的中点，
∴EF∥BC，EF=
| 1 |
| 2 |
∴△BCP∽△FEP，
∴
| CP |
| PE |
| BC |
| EF |
（2）如图（6），连结EF．由前面结论可知，
| S△BCF |
| S△BEF |
| CP |
| PE |
∵△BCF与△ABF同高不同底，AF=nFC，
∴
| S△BCF |
| S△ABF |
| CF |
| AF |
| 1 |
| n |
∴S△BCF=
| 1 |
| n |
∵△BEF与△ABF同高不同底，AE=mEB，
∴
| S△BEF |
| S△ABF |
| BE |
| AB |
| 1 |
| m+1 |
∴S△BEF=
| 1 |
| m+1 |
∴
| S△BCF |
| S△BEF |
| ||
|
| m+1 |
| n |
∴
| CP |
| PE |
| m+1 |
| n |
（3）如图（7），
∵S△BDP：S△ABD=PD：AD，S△CDP：S△ACD=PD：AD，
∴（S△BDP+S△CDP）：（S△ABD+S△ACD）=PD：AD，
∴S△BCP：S△ABC=PD：AD①，
同理S△ACP：S△ABC=PE：BE②，S△ABP：S△ABC=PF：CF③，
①+②+③，得（S△BCP+S△ACP+S△ABP）：S△ABC=
| PD |
| AD |
| PE |
| BE |
| PF |
| CF |
∵S△BCP+S△ACP+S△ABP=S△ABC，
∴
| PD |
| AD |
| PE |
| BE |
| PF |
| CF |
故答案为=；=；2；
| m+1 |
| n |
点评：本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式、等比性质，注意同底不同高的两个三角形面积比等于它们对应高的比，同高不同底的两个三角形面积比等于它们的底之比．
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| A、6400元 |
| B、3200元 |
| C、2560元 |
| D、1600元 |
如图，点P是?ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：
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