由6根钢管首尾顺次铰接而成六边形钢架ABCDEF.相邻两钢管可以转动．已知各钢管的长度为AB=DE=1米.BC=CD=EF=FA=2米．(1)转动钢管得到三角形钢架.如图1.则点A.E之间的距离是$\frac{8}{3}$米．(2)转动钢管得到如图2所示的六边形钢架.有∠A=∠B=∠C=∠D=120°.现用三根钢条连接顶点使该钢架不能活动.则所用三根� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．

由6根钢管首尾顺次铰接而成六边形钢架ABCDEF，相邻两钢管可以转动．已知各钢管的长度为AB=DE=1米，BC=CD=EF=FA=2米．（铰接点长度忽略不计）
（1）转动钢管得到三角形钢架，如图1，则点A，E之间的距离是$\frac{8}{3}$米．
（2）转动钢管得到如图2所示的六边形钢架，有∠A=∠B=∠C=∠D=120°，现用三根钢条连接顶点使该钢架不能活动，则所用三根钢条总长度的最小值是3$\sqrt{7}$米．

分析（1）只要证明AE∥BD，得$\frac{AE}{DB}$=$\frac{AF}{FB}$，列出方程即可解决问题．
（2）分别求出六边形的对角线并且比较大小，即可解决问题．

解答解：（1）如图1中，∵FB=DF，FA=FE，
∴∠FAE=∠FEA，∠B=∠D，
∴∠FAE=∠B，
∴AE∥BD，
∴$\frac{AE}{DB}$=$\frac{AF}{FB}$，
∴$\frac{AE}{4}$=$\frac{2}{3}$，
∴AE=$\frac{8}{3}$，
故答案为$\frac{8}{3}$．
（2）如图中，作BN⊥FA于N，延长AB、DC交于点M，连接BD、AD、BF、CF．
在RT△BFN中，∵∠BNF=90°，BN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，FN=AN+AF=$\frac{1}{2}$+2=$\frac{5}{2}$，
∴BF=$\sqrt{B{N}^{2}+N{F}^{2}}$=$\sqrt{7}$，同理得到AC=DF=$\sqrt{7}$，
∵∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠MBC=∠MCB=60°，
∴∠M=60°，
∴CM=BC=BM，
∵∠M+∠MAF=180°，
∴AF∥DM，∵AF=CM，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴CF=AM=3，
∵∠BCM=∠CBD+∠CDB=60°，∠CBD=∠CDB，
∴∠CBD=∠CDB=30°，∵∠M=60°，
∴∠MBD=90°，
∴BD=$\sqrt{D{M}^{2}-B{M}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，同理AE=2$\sqrt{3}$，
∵$\sqrt{7}$＜3＜2$\sqrt{3}$，
∴用三根钢条连接顶点使该钢架不能活动，
∴连接AC、BF、DF即可，
∴所用三根钢条总长度的最小值3$\sqrt{7}$，
故答案为3$\sqrt{7}$．