Question

如图，已知△ABC是等边三角形，D为AC上一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连接DE交BC于点F．
（1）求证：DF=EF；
（2）若△ABC的边长为m，BE=n，且m、n满足（m-5）²=4（n-1）-n²，求BF的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）过D作DG∥AB，交BC于点G，可证明△CDG为等边三角形，可得CD=DG，再证明△BEF≌△GDF，即可得到DF=EF；
（2）由条件结合非负数的性质可求得m、n的值，再结合（1）可求得CG=DG=BE=2，可求得BG，则可求得BF．

解答： （1）证明：
如图，过D作DG∥AB，交BC于点G，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠CDG=∠A=60°，∠CGD=∠CBA=60°，
∴△CDG为等边三角形，
∴DG=CD，
又BE=CD，
∴BE=GD，
又DG∥AB，
∴∠E=∠GDF，
在△BEF和△GDF中

∠E=∠GDF ∠BFE=∠GFD BE=DG

∴△BEF≌△GDF（AAS），
∴DF=EF；
（2）解：
∵（m-5）²=4（n-1）-n²，
∴（m-5）²+（n-2）²=0，
∴m=5，n=2，
∴BE=DG=CG=2，BC=5，
∴BG=BC-CG=5-2=3，
又BF=FG，
∴BF=

1

2

BG=1.5．

点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和性质（全等三角形的对应边、对应角相等）是解题的关键，在（2）中利用非负数的性质求得m、n的值是解题的关键．