Question

11．已知，∠ABC=90°，AB=BC，AD∥BC，AE⊥BD于E点，连接CE
（1）如图1，过E点作EF⊥EC交AB于F点，求证：△AEF∽△BEC；
（2）如图2，过C点作CG⊥BD于G点．若CG是∠BCE的角平分线，求$\frac{DE}{BE}$的值；
（3）在（1）中，若AB=3AD=6，连接CF，直接写出CF的长．

Answer 1

分析 （1）根据余角和平行线的性质得到∠CBE=∠D=∠EAF，由相似三角形的判定即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AE=BG，根据角平分线的性质得到CE=CB，等量代换得到AE=BG=EG，由余角的性质得到∠DAE=∠ABE，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）由三角函数的定义得到tan∠ABD=$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{BE}$=$\frac{1}{3}$，根据相似三角形的性质得到$\frac{AF}{BC}=\frac{AE}{BE}$=$\frac{1}{3}$，等量代换得到$\frac{AF}{AB}$=$\frac{1}{3}$，由勾股定理即可得到结论．

解答 （1）证明：∵∠AEF+∠BEF=90°，∠CEB+∠BEF=90°，
∵AD∥BC，
∴∠CBE=∠D=∠EAF，
∴△AEF∽△BEC；

（2）解：在△ABE与△BCG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAB=∠GBC}\\{∠AEB=∠CGB=90°}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCG（AAS），
∴AE=BG，
∵CG是∠BCE的角平分线，
∴CE=CB，
∴BG=EG，
∴AE=BG=EG，
∵BE=2AE，
∵∠DAE+∠EAB=∠EAB+∠ABE=90°，
∴∠DAE=∠ABE，
∴△ADE∽△ABE，
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{BE}{AE}$=2，
∴$\frac{DE}{BE}$=$\frac{1}{4}$；

（3）解：∵tan∠ABD=$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{BE}$=$\frac{1}{3}$，且△AEF∽△BEC，
∴$\frac{AF}{BC}=\frac{AE}{BE}$=$\frac{1}{3}$，
又∵AB=BC，
∴$\frac{AF}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∵AF=2，
∴AB=BC=6，
∵BF=4，
∴CF=$\sqrt{B{C}^{2}+B{F}^{2}}$=2$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，角平分线的性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．