Question

19．如图，已知一次函数y₁=kx+b的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象的两个交点是A（-2，-4），C（4，n），与y轴交于点B，与x轴交于点D．
（1）求反比例函数y=$\frac{m}{x}$和一次函数y₁=kx+b的解析式；
（2）连接OA，OC，求△AOC的面积；
（3）根据图象，直接写出y₁＞y₂时x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用点A的坐标求得反比例函数解析式，进而求得点C的坐标，利用C、A两点的坐标求得一次函数解析式；
（2）根据一次函数解析式求得点B的坐标，再将y轴作为分割线，求得△AOC的面积；
（3）根据函数图象进行观察，写出一次函数图象在反比例函数图象上方时所有点的横坐标的集合即可．

解答 解：（1）∵A（-2，-4）在函数y₂=$\frac{m}{x}$的图象上
∴m=8，
∴反比例函数的解析式为：y₂=$\frac{8}{x}$．
∵点C（4，n）在函数y₂=$\frac{8}{x}$的图象上，
∴n=2，即C（4，2），
∵y₁=kx+b经过A（-2，-4），C（4，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=-4}\\{4k+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为：y₁=x-2；

（2）∵B是直线AC与y轴的交点，
∴当x=0时，y=-2，
∴点B（0，-2），即OB=2，
∴S_△AOC=S_△AOB+S_△COB=$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{1}{2}$×2×4=6；

（3）根据图象可得，当y₁＞y₂时，x的取值范围为：-2＜x＜0或x＞4．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．求x的取值范围，从函数图象的角度看，是确定直线在双曲线上方（或下方）部分所有的点的横坐标所构成的集合．