如图.一次函数y=kx+3的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于P.Q两点.PA⊥x轴于点A.一次函数的图象分别交x轴.y轴于点C.点B.其中OA=6.且$\frac{OC}{CA}=\frac{1}{2}$．(1)求一次函数和反比例函数的表达式,(2)求△APQ的面积,(3)根据图象写出当x取何值时.一次函数的值小于反比例函数的值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．

如图，一次函数y=kx+3的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于P、Q两点，PA⊥x轴于点A，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C，点B，其中OA=6，且$\frac{OC}{CA}=\frac{1}{2}$．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△APQ的面积；
（3）根据图象写出当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值．

分析（1）根据OA=6以及OC、CA的关系可得出OC的长，从而得出C点的坐标，结合点C的坐标利用待定系数法即可求出一次函数关系式，将x=6代入一次函数解析式中求出y值，由此得出点P的坐标，根据点P的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数关系式；
（2）联立直线PQ与反比例函数关系式成方程组，解方程组可求出点Q的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出结论；
（3）根据交点坐标结合函数图象的上下位置关系即可得出结论．

解答解：（1）∵OA=6，且$\frac{OC}{CA}=\frac{1}{2}$，
∴OA=3OC=6，
∴OC=2，即C（2，0）．
将C（2，0）代入y=kx+3中，
得：0=2k+3，解得：k=-$\frac{3}{2}$，
∴一次函数的表达式为y=-$\frac{3}{2}$x+3．
令y=-$\frac{3}{2}$x+3中x=6，则y=-6，
∴P（6，-6）．
∵点P（6，-6）在反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象上，
∴m=6×（-6）=-36，
∴反比例函数的表达式为y=-$\frac{36}{x}$．
（2）联立直线PQ与反比例函数解析式，
得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{2}x+3}\\{y=-\frac{36}{x}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=9}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=-6}\end{array}\right.$，
∴Q（-4，9）．
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}$AC•（y_Q-y_P）=$\frac{1}{2}$×（6-2）×[9-（-6）]=30．
（3）观察函数图象发现：
当-4＜x＜0或x＞6时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
∴当-4＜x＜0或x＞6时，一次函数的值小于反比例函数的值．

点评本题考查了待定系数法求函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是：（1）求出点C、P的坐标；（2）联立两函数关系式成方程组求出交点Q的坐标；（3）根据函数图象的上下位置关系解决问题．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时找出点的坐标，再利用待定系数法求出函数关系式是关键．