Question

18．如图，过点F（6，5）的抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．且B（5，0）
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，交CF于点G，连接OG、EF，试判断四边形OEFG的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，连接OF交对称轴于点D，抛物线对称轴上是否存在点P，使△OFP是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点F（6，5）、B（5，0）代入抛物线求出b和c的值即可；
（2）求出C（0，5），得出CF∥OE，证出GF=AE=3，即可得出四边形OEFG为平行四边形；
（3）求出D（3，2.5），分情况讨论：①当点O为直角顶点时，证明△OED∽△PEO，得出$\frac{OE}{PE}=\frac{DE}{OE}$，求出PE=$\frac{18}{5}$，即可得出P的坐标；
②当点F为直角顶点时，同理可得FG²=PG•GD，求出PG=$\frac{18}{5}$，得出PE=$\frac{43}{5}$，即可得出P的坐标；
③当点P为直角顶点时，由勾股定理得OF=$\sqrt{61}$，由直角三角形斜边上的中线性质得出PD=$\frac{\sqrt{61}}{2}$，若点P在OD上方，则PE=$\frac{\sqrt{61}+5}{2}$，得出P（3，$\frac{\sqrt{61}+5}{2}$）；
若点P在OD下方时，则PE=$\frac{\sqrt{61}-5}{2}$，得出P（3，-$\frac{\sqrt{61}-5}{2}$）；即可得出结论．

解答 解：（1）∵抛物线过点F（6，5）、B（5，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{36+6b+c=5}\\{25+5b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-6}\\{c=5}\end{array}\right.$，
∴此抛物线的解析式为：y=x²-6x+5；
（2）四边形OEFG为平行四边形．
∵此抛物线与y轴交于点C，
∴C（0，5），
又∵F（6，5），
∴CF∥OE，
又∵抛物线的对称轴为：x=3，
∴G（3，5），E（3，0），
∴GF=AE=3，
∴四边形OEFG为平行四边形；
（3）∵F（6，5），
∴D（3，2.5），
①当点O为直角顶点时，如图1所示：
则∠POF=90°=∠OED，
∴∠POE=∠ODE，
∴△OED∽△PEO，
∴$\frac{OE}{PE}=\frac{DE}{OE}$，即$\frac{3}{PE}=\frac{\frac{5}{2}}{3}$，
解得：PE=$\frac{18}{5}$，
∴P（3，-$\frac{18}{5}$），
②当点F为直角顶点时，如图2所示：
同理可得FG²=PG•GD，
∴PG=$\frac{18}{5}$，
∴PE=$\frac{43}{5}$，
∴P（3，$\frac{43}{5}$）；
③当点P为直角顶点时，由勾股定理得OF=$\sqrt{{6}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{61}$，
又∵PD是Rt△OPF斜边OF上的中线，
∴PD=$\frac{\sqrt{61}}{2}$，
若点P在OD上方，如图3所示：
则PE=$\frac{\sqrt{61}+5}{2}$，
∴P（3，$\frac{\sqrt{61}+5}{2}$）；
若点P在OD下方时，如图4所示：
则PE=$\frac{\sqrt{61}-5}{2}$，
∴P（3，-$\frac{\sqrt{61}-5}{2}$）；
综上所述，抛物线的对称轴上存在点P（3，-$\frac{18}{5}$）或（3，$\frac{43}{5}$）或（3，$\frac{\sqrt{61}+5}{2}$）或（3，-$\frac{\sqrt{61}-5}{2}$），使△OFP是直角三角形．

点评 本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数的解析式、坐标与图形性质、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要进行分类讨论才能得出结论．