Question

6．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD=CD，则∠ACB=96°．
（2）如图，在△ABC中，AC=2，BC=$\sqrt{2}$，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的性质得到∠BCD=∠A=48°，再根据角的和差关系求出∠ACB即可．
（2）设BD=x，利用△BCD∽△BAC，得$\frac{BC}{BA}$=$\frac{BD}{BC}$，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）当AD=CD时，如图3，∠ACD=∠A=48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．
（2）由已知AC=AD=2，
∵△BCD∽△BAC，
∴$\frac{BC}{BA}$=$\frac{BD}{BC}$，设BD=x，
∴（$\sqrt{2}$）²=x（x+2），
∵x＞0，
∴x=$\sqrt{3}$-1，
∵△BCD∽△BAC，
∴$\frac{CD}{AC}$=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$，
∴CD=$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$×2=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．
故答案为：96．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．