Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=

3

4

x-

3

2

与抛物线y=-

1

4

x²+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-8．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．
①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；
②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG．随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）利用直线解析式求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）①利用直线解析式和抛物线解析式表示出PD，再利用同角的余角相等求出∠DPE=∠BAO，根据直线k值求出∠BAO的正弦和余弦值，然后表示出PE、DE，再根据三角形的周长公式列式整理即可得解，再根据二次函数的最值问题解答；
②分（i）点G在y轴上时，过点P作PH⊥x轴于H，根据正方形的性质可得AP=AG，∠PAG=90°，再求出∠PAH=∠AGO，然后利用“角角边”证明△APH和△GAO全等，根据全等三角形对应边相等可得PH=AO=2，然后利用二次函数解析式求解即可；（ii）点F在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，根据正方形的性质可得AP=FP，∠APF=90°，再根据同角的余角相等求出∠APM=∠FPN，然后利用“角边角”证明△APM和△FPN全等，根据全等三角形对应边相等可得PM=PN，从而得到点P的横坐标与纵坐标相等，再根据二次函数的解析式求解即可．

解答：解：（1）令y=0，则

3

4

x-

3

2

=0，解得x=2，
x=-8时，y=

3

4

×（-8）-

3

2

=-

15

2

，
∴点A（2，0），B（-8，-

15

2

），
把点A、B代入抛物线得，

- 1 4 ×(-2)2+2b+c=0 - 1 4 ×(-8)2-8b+c=- 15 2

，
解得

b=- 3 4 c= 5 2

，
所以，该抛物线的解析式y=-

1

4

x²-

3

4

x+

5

2

；

（2）①∵点P在抛物线上，点D在直线上，
∴PD=-

1

4

x²-

3

4

x+

5

2

-（

3

4

x-

3

2

）=-

1

4

x²-

3

2

x+4，
∵PE⊥AB，
∴∠DPE+∠PDE=90°，
又∵PD⊥x轴，
∴∠BAO+∠PDE=90°，
∴∠DPE=∠BAO，
∵直线解析式k=

3

4

，
∴sin∠BAO=

3

5

，cos∠BAO=

4

5

，
∴PE=PDcos∠DPE=

3

5

PD，
DE=PDsin∠DPE=

4

5

PD，
∴△PDE的周长为l=PD+

3

5

PD+

4

5

PD=

12

5

PD=

12

5

（-

1

4

x²-

3

2

x+4）=-

3

5

x²-

18

5

x+

48

5

，
即l=-

3

5

x²-

18

5

x+

48

5

；
∵l=-

3

5

（x²+6x+9）+15，
∴当x=-3时，最大值为15；

②∵点A（2，0），
∴AO=2，
分（i）点G在y轴上时，过点P作PH⊥x轴于H，
在正方形APFG中，AP=AG，∠PAG=90°，
∵∠PAH+∠OAG=90°，∠AGO+∠OAG=90°，
∴∠PAH=∠AGO，
在△APH和△GAO中，

∠PAH=∠AGO ∠AHP=∠GOA=90° AP=AG

，
∴△APH≌△GAO（AAS），
∴PH=AO=2，
∴点P的纵坐标为2，
∴-

1

4

x²-

3

4

x+

5

2

=2，
整理得，x²+3x-2=0，
解得x=

-3± 17

2

，
∴点P₁（

-3+ 17

2

，2），P₂（

-3- 17

2

，2）；

（ii）点F在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，
在正方形APFG中，AP=FP，∠APF=90°，
∵∠APM+∠MPF=90°，∠FPN+∠MPF=90°，
∴∠APM=∠FPN，
在△APM和△FPN中，

∠APM=∠FPN ∠AMP=∠FNP=90° AP=AF

，
∴△APM≌△FPN（AAS），
∴PM=PN，
∴点P的横坐标与纵坐标相等，
∴-

1

4

x²-

3

4

x+

5

2

=x，
整理得，x²+7x-10=0，
解得x₁=

-7+ 89

2

，x₂=

-7- 89

2

（舍去），
∴点P₃（

-7+ 89

2

，

-7+ 89

2

）
综上所述，存在点P₁（

-3+ 17

2

，2），P₂（

-3- 17

2

，2），P₃（

-7+ 89

2

，

-7+ 89

2

）．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质以及待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数的应用，（1）①利用锐角三角函数用PD表示出三角形是周长是解题的关键，②难点在于分情况讨论．