Question

9．在?ABCD的边AB、BC、CD、DA上依次取点A₁，B₁，C₁，D₁使四边形A₁B₁C₁D₁也是平行四边形，求证：?A₁B₁C₁D₁和?ABCD有相同的中心．

Answer 1

分析 根据平行线的性质得到∠C₁A₁A=∠CC₁A₁，∠C₁A₁D₁=∠B₁C₁A₁，根据全等三角形的性质得到AA₁=CC₁；连接B₁D₁交A₁C₁于O，分别连接OA和OC，根据全等三角形的性质得到∠COC₁=∠AOA₁，由C₁、O、A₁在一直线上，得到∠COC₁+∠COA₁=180度，则∠AOA₁+∠COA₁=180度，于是得到结论．

解答 证明：∵AB∥CD，
∴∠C₁A₁A=∠CC₁A₁，
∵A₁D₁∥C₁B₁，
∴∠C₁A₁D₁=∠B₁C₁A₁，
∠1=∠C₁A₁A-∠C₁A₁D₁；∠2=∠CC₁A₁-∠B₁C₁A₁，
∴∠1=∠2，又∠A₁AD₁=∠B₁CC₁，A₁D₁=B₁C₁，
在△AA₁D₁与△CC₁B₁中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠BAD=∠DCB}\\{{A}_{1}{D}_{1}={B}_{1}{C}_{1}}\end{array}\right.$，
∴△AA₁D₁≌△CC₁B₁
∴AA₁=CC₁；
连接B₁D₁交A₁C₁于O，分别连接OA和OC，
在△AA₁O与△CC₁O中，∵∠C₁A₁A=∠CC₁A₁，OA₁=OC₁，
$\left\{\begin{array}{l}{O{A}_{1}=O{C}_{1}}\\{∠{C}_{1}{A}_{1}A=∠C{C}_{1}{A}_{1}}\\{A{A}_{1}=C{C}_{1}}\end{array}\right.$．
∴△AA₁O≌△CC₁O，
∴∠COC₁=∠AOA₁，
∵C₁、O、A₁在一直线上，
∴∠COC₁+∠COA₁=180度，则∠AOA₁+∠COA₁=180度，
∴点C、O、A在一直线上，即O在AC上
同理可证：点D、O、B在一直线上，即O在BD上
∴两个平行四边形的对称中心相同．

点评 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判断和性质．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．