Question

11．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心P的坐标为（a，4），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为$2\sqrt{3}$，则a的值为4-$\sqrt{2}$或4+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 分为两种情况：①当P在直线y=x的左边时，过P₁D⊥AB于D，由垂径定理求出AD、由勾股定理求出P₁D，过P₁作P₁D∥直线y=x，交y轴于D，过D作DB⊥直线y=x于B，得出DB=P₁D=1，OB=DB=1，由勾股定理求出DO，得出直线P₁D的解析式是y=x+$\sqrt{2}$，把P（a，4）代入求出a即可；②与①解法类似，当P在直线y=x的右边时，同法得出直线的解析式y=x-$\sqrt{2}$，把p（a，4）代入求出a的另一个值．

解答 解：分为两种情况：

①当P在直线y=x的左边时，过P₁D′⊥AB于D′，
由垂径定理得：AD′=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∵P₁A=2，由勾股定理得：P₁D′=1，
过P₁作P₁D∥直线y=x，交y轴于D，过D作DB⊥直线y=x于B，则DB=P₁D=1，
∵直线y=x，
∴∠DOB=45°，
∴OB=DB=1，由勾股定理得：DO=$\sqrt{2}$，
∵直线P₁D∥直线y=x，
∴直线P₁D的解析式是y=x+$\sqrt{2}$（即把直线y=x相上平移$\sqrt{2}$个单位），
∴把P（a，4）代入得：4=a+$\sqrt{2}$，
∴a=4-$\sqrt{2}$，
②当P在直线y=x的右边时，与①解法类似，P₂M=ON=1，
由勾股定理得OH=$\sqrt{2}$，
把直线y=x向下平移$\sqrt{2}$个单位得出直线y=x-$\sqrt{2}$，
把p（a，4）代入求出a的另一个值是4+$\sqrt{2}$．
故答案为：4-$\sqrt{2}$或4+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了等腰三角形性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质，垂径定理等知识点，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，注意：此题要进行分类讨论．