Question

19．如图，AB=AD，AB⊥AD，AE⊥AC，AE=AC，连接BE，过A作AH⊥CD于H，交BE于F．求证：
（1）△ABC≌ADE；
（2）BF=EF．

Answer 1

分析 （1）根据SAS即可证明△ABC≌△ADE．
（2）连接CF．想办法证明CF=EF，BF=CF即可解决问题．

解答 证明：（1）∵AB⊥AD，AE⊥AC，
∴∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAD=∠DAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADE．

（2）连接CF．∵△ABC≌△ADE，
∴∠AEC=ACB，
在Rt△ACE中，∠ACE+∠AEC=90°，
∴∠BCE=90°，
∵AE=AC，AH⊥CD，
∴CH=HE，
∴CF=EF，
∴∠CEF=∠ECF，
∵∠CEF+∠CBE=90°，∠ECF+∠BCF=90°，
∴∠CBF=∠BCF，
∴BF=CF，
∴BF=EF．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．