Question

4．如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E、F分别是AC、BD的中点，∠BAC=15°，∠DAC=45°，则$\frac{EF}{CD}$的值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 连接BE，ED，根据∠ABC=∠ADC=90°且E为AC中点，求证△BED是等腰三角形，再利用等腰三角形的高，中线，角平分线三线合一的性质得到EF⊥BD，
根据圆周角定理得到∠DEF=60°，求得EF=$\frac{1}{2}$DE，CD=$\sqrt{2}$DE，于是得出结论．

解答 解：连接BE，ED，
∵∠ABC=∠ADC=90°且E为AC中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC，BE=$\frac{1}{2}$AC，
∴BE=DE，
∵F为BD中点，
∴EF⊥BD，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴A，B，C，D四点共圆，
∵∠BAC=15°，∠DAC=45°，
∴∠BAD=60°，
∴∠BED=120°，
∴∠FED=60°，
∴EF=$\frac{1}{2}$DE，
∵CD=$\sqrt{2}$DE，
∴$\frac{EF}{CD}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 此题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质等知识点，解答此题的关键是连接BE，ED，根据∠ABC=∠ADC=90°且E为AC中点，证出△BED是等腰三角形．