Question

1．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD相交于点E，∠ADB=∠ACB．
（1）求证：AD²=AC•AE；
（2）若AB⊥AC，∠ACB=30°，F是BC的中点，求证：四边形ABFD是菱形．

Answer 1

分析 （1）欲证明AD²=AE•AC，只要证明△ADE∽△ACD即可．
（2）利用直角三角形30度角的性质，以及直角三角形斜边中线性质即可证明四边相等．

解答 （1）证明：∵∠ADB=∠ACB，∠AED=∠BEC，
∴△AED∽△BEC，
∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{ED}{EC}$，
∴$\frac{AE}{DE}$=$\frac{BE}{EC}$，
∵∠AEB=∠DEC，
∴△AEB∽△DEC，
∴∠ABE=∠DCE，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ADE=∠ACD，
∵∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AE}{AD}$，
∴AD²=AE•AC．
（也可以直接证明△ABE与△ACB相似）
（2）∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°
∵∠ACB=30°，
∴AB=$\frac{1}{2}$BC=BF=FC，
∵AB=AD，
∴AD=BF，
∵∠ABE=∠ECD，∠AEB=∠DEC，
∴∠BAE=∠CDE=90°，
∵BF=CF，
∴DF=BF=CF，
∴AB=AD=BF=DF，
∴四边形ABFD是菱形．

点评 本题考查菱形的判定、相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线性质，直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．