Question

4．在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连结AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S_△ABD：S_△ACD=1：1；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB=m，AC=n，求S_△ABD：S_△ACD的值（用含m，n的代数式表示）
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD=DE，连接BE，如果AC=2，AB=4，S_△BDE=6，那么S_△ABC=9．

Answer 1

分析 （1）过A作AE⊥BC于E，根据三角形面积公式求出即可；
（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DE=DF，根据三角形面积公式求出即可；
（3）根据已知和（1）（2）的结论求出△ABD和△ACD的面积，即可求出答案．

解答 解：（1）
过A作AE⊥BC于E，
∵点D是BC边上的中点，
∴BD=DC，
∴S_ABD：S_△ACD=（$\frac{1}{2}$×BD×AE）：（$\frac{1}{2}$×CD×AE）=1：1，
故答案为：1：1；

（2）
过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴DE=DF，
∵AB=m，AC=n，
∴S_ABD：S_△ACD=（$\frac{1}{2}$×AB×DE）：（$\frac{1}{2}$×AC×DF）=m：n；

（3）
∵AD=DE，
∴由（1）知：S_△ABD：S_△EBD=1：1，
∵S_△BDE=6，
∴S_△ABD=6，
∵AC=2，AB=4，AD平分∠CAB，
∴由（2）知：S_△ABD：S_△ACD=AB：AC=4：2=2：1，
∴S_△ACD=3，
∴S_△ABC=3+6=9，
故答案为：9．

点评 本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键．