Question

16．已知：x₁、x₂是一元二次方程x²-4x+1=0的两个实数根，求：（x₁²+x₂²）÷（$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$）的值．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系得到x₁+x₂=4，x₁x₂=1，再利用完全平方公式和通过把原式变形得到[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]÷$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，然后利用整体代入的方法计算．

解答 解：根据题意得x₁+x₂=4，x₁x₂=1，
所以原式=[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]÷$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=（4²-2×1）÷$\frac{4}{1}$
=14÷4
=$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了代数式的变形能力．