题目内容
4．
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA向点A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒．点D运动的速度为每秒1个单位长度．（1）当t=2时，CD=2，AD=8；
（2）求当t为何值时，△CBD是直角三角形，说明理由；
（3）求当t为何值时，△CBD是以BD或CD为底的等腰三角形？并说明理由．
分析 （1）根据CD=速度×时间列式计算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根据AD=AC-CD代入数据进行计算即可得解；
（2）分①∠CDB=90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间=路程÷速度计算；②∠CBD=90°时，点D和点A重合，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解；
（3）分①CD=BC时，CD=6；②BD=BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF，再由（2）的结论解答．
解答 
解：（1）t=2时，CD=2×1=2，
∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
AD=AC-CD=10-2=8；
故答案是：2；8．
（2）①∠CDB=90°时，S△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$AB•BC，
即$\frac{1}{2}$×10•BD=$\frac{1}{2}$×8×6，
解得BD=4.8，
∴CD=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-4．{8}^{2}}$=3.6，
t=3.6÷1=3.6秒；
②∠CBD=90°时，点D和点A重合，
t=10÷1=10秒，
综上所述，t=3.6或10秒；
故答案为：（1）2，8；（2）3.6或10秒；
（3）①CD=BC时，CD=6，t=6÷1=6；
②BD=BC时，如图2，过点B作BF⊥AC于F，
则CF=3.6，
CD=2CF=3.6×2=7.2，
∴t=7.2÷1=7.2，
综上所述，t=6秒或7.2秒时，△CBD是以BD或CD为底的等腰三角形．
点评 本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，（2）（3）难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．
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如图，O为坐标原点，矩形OABC中，A（-8，0），C（0，6），将矩形OABC绕点O旋转60°，得到矩形OA′B′C′，此时直线OA′与直线BC相交于P．则点P的坐标为（-2$\sqrt{3}$，6）或（2$\sqrt{3}$，6）．
如图，△ABC为等腰直角三角形，AC⊥BC，PA⊥PB，连接PC．
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．