Question

若关于x的方程x⁴-16x³+（81-2a）x²+（16a-142）x+a²-21a+68=0的各根为整数，求a的值，并解此方程．

Answer 1

考点：一元二次方程的整数根与有理根

专题：

分析：首先将原式分解因式，进而得出

x2-6x+4-a=0① x2-10x+17-a=0②

，进而求出a的值，即可得出方程的根．

解答：解：∵x⁴-16x³+（81-2a）x²+（16a-142）x+a²-21a+68
=（x⁴-16x³+60x²）+（21-2a）x²+（16a-142）x+（a²-21a+68）
=（x²-6x）（x²-10x）+[（4-a）+（17-a）]x²-[10（4-a）+6（17-a）]x+（4-a）（17-a）
=（x²-6x）（x²-10x）+[（4-a）x²-10（4-a）x]+[（17-a）x²-6（17-a）x]+（4-a）（17-a）
=（x²-6x）（x²-10x）+（4-a）（x²-10x）+（17-a）（x²-6x）+（4-a）（17-a）
=[（x²-6x）（x²-10x）+（4-a）（x²-10x）]+[（17-a）（x²-6x）+（4-a）（17-a）]
=（x²-6x+4-a）（x²-10x）+（17-a）（x²-6x+4-a）
=（x²-6x+4-a）（x²-10x+17-a）
∴

x2-6x+4-a=0① x2-10x+17-a=0②

，
∴①式判别式△₁=（-6）²-4（4-a）=4（a+5）
②式判别式△₂=（-10）²-4（17-a）=4（a+8）
∵方程的各根为整数
∴a+5和a+8应该是整数的平方
∴设n、m∈Z且n＞m≥0，且有：

a+5=m2 a+8=n2

，
两式相减得：3=1×3=n²-m²=（n-m）（n+m）
∴

n-m=1 n+m=3

，
解得：

m=1 n=2

，
故解得：a=-4
将a=-4代入方程①②得：

x2-6x+8=0③ x2-10x+21=0④

，
解③④得：x₁=2，x₂=4，x₃=3，x₄=7．

点评：此题主要考查了一元二次方程的整数根与有理根，正确将原方程分解因式是解题关键．