Question

如图，△ODC中，∠D=90°，EC是∠DCO的平分线，OE⊥CE，点E作EF⊥OC于点F，判断EF与OD之间的数量关系，并加以证明．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,角平分线的性质

专题：

分析：延长CD和OE，使CD、OE相交于H，过E点作EG⊥HD，根据等腰三角形三线合一的性质可得OE=EH，再判断出EG是△OHD的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EG=

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OD，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得EF=EG，等量代换即可得证．

解答：解：如图，延长CD和OE，使CD、OE相交于H，过E点作EG⊥HD，
在△OHC中，∵EC是∠DCO的平分线且EC⊥OE，
∴OE=EH（等腰三角形三线合一），
在△OHD中，
∵EG⊥HD，OD⊥HD，
∴EG∥OD，
∴EG是△OHD的中位线，
∴EG=

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OD，
又∵EC是∠DCO的平分线，EG⊥HD，EF⊥OC，
∴EG=EF，
∴EF=

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OD．

点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．