Question

6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CE是△ABC的中线，∠BCD=22.5°．
（1）求∠CED的度数；
（2）若CD=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）先根据CD⊥AB于点D得出∠CDB=90°，由∠BCD=22.5°即可得出∠B的度数，根据在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE是△ABC的中线可知CE=AE=BE，故可得出∠BCE=∠B，根据三角形内角和定理即可得出∠CED的度数；
（2）由（1）可知∠CED=45°，故可得出△CED是等腰直角三角形，根据勾股定理可得出CE的长，进而得出AB的长，根据三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）∵CD⊥AB于点D，
∴∠CDB=90°．
∵∠BCD=22.5°，
∴∠B的度数=67.5°．
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，CE是△ABC的中线，
∴CE=AE=BE，
∴∠BCE=∠B=67.5°，
∴∠CED=180°-2×67.5°=45°；

（2）∵由（1）可知∠CED=45°，
∴△CED是等腰直角三角形，
∴DE=CD=1，
∴CE=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴AB=2CE=2$\sqrt{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×1=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．