Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM为△ABC 的角平分线，将线段BM绕点B顺时针方向旋转使点M刚好落在AM的延长线上的点N处，此时作ND⊥BC于点D．
（1）求证：∠ABN=90°；
（2）求证：CM=BD；
（3）若BD=

3

2

DM，AB=10，求线段BN的长．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据旋转的性质，可得对应线段相等，根据根据等腰三角形的性质，可得∠BMN与∠BNM的关系，根据相似三角形的判定与性质，可得答案；
（2）根据角平分线的性质，可得ME=CM，根据AAS，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得答案；
（3）根据勾股定理，可得DN的长，根据等角的锐角三角函数相等，可得答案．

解答：（1）证明：∵线段BM绕点B旋转后得线段BN
∴BM=BN
∴∠BMN=∠BNM，
∵AM平分∠BAC
∴∠CAM=∠BAM
∠AMC=∠BMN=∠BNM
∴△ACM∽△ABN
∴∠ABN=∠C=90°；
（2）证明：作ME⊥AB于E，
∵AM平分∠BAC，∠C=90°，ME⊥AB
∴ME=CM，
∵ND⊥BC于D
∴∠MEB=∠NDB=∠ABN=90°
∴∠MBE+∠MBN=∠MBN+∠BND=90°
∴∠MBE=∠BND
∵∠MEB=∠NDB，∠MBE=∠BND，BM=BN
∴△MEB≌△BDN（AAS），
∴ME=BD
∴CM=BD；
（3）解：设DM=2x，则CM=BD=3x，BN=BM=BD+DM=5x
在Rt△BDN中，DN=

BN2-BD2

=4x
在Rt△MDN中，tan∠MND=

DM

DN

=

2x

4x

=

1

2

，
∵∠C=∠NDM=90°
∴AC∥DN
∴∠BAM=∠CAM=∠MND，
∴tan∠BAM=tan∠MND=

1

2

在Rt△ABN中，BN=AB•tan∠BAM=10×

1

2

=5．

点评：本题考查了旋转的性质，利用了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，补角的性质，全等三角形的判定与性质，等角的锐角三角函数相等．