Question

如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．
（1）求证：DF⊥AB；
（2）若AF的长为2，求FG的长．

Answer 1

考点：切线的性质,等边三角形的性质

专题：证明题

分析：（1）连结OD，根据切线的性质由DF是圆的切线得∠ODF=90°，再根据等边三角形的性质得∠C=∠A=∠B=60°，AB=AC，而OD=OC，所以∠ODC=60°=∠A，
于是可判断OD∥AB，根据平行线的性质得DF⊥AB；
（2）在Rt△ADF中，由∠A=60°得到∠ADF=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得AD=2AF=4，再证明OD为△ABC的中位线，则AD=CD=4，即AC=8，
所以AB=8，BF=AB-AF=6，然后在Rt△BFG中，根据正弦的定义计算FG的长．

解答：（1）证明：连结OD，如图，
∵DF是圆的切线，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF=90°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=∠A=∠B=60°，AB=AC，
而OD=OC，
∴∠ODC=60°，
∴∠ODC=∠A，
∴OD∥AB，
∴DF⊥AB；
（2）解：在Rt△ADF中，∠A=60°，
∴∠ADF=30°，
∴AD=2AF=2×2=4，
而OD∥AB，点O为BC的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴AD=CD=4，即AC=8，
∴AB=8，
∴BF=AB-AF=6，
∵FG⊥BC，
∴∠BGF=90°，
在Rt△BFG中，sinB=sin60°=

FG

FB

，
∴FG=6×

3

2

=3

3

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等边三角形的性质．