Question

已知抛物线y=ax²+bx+c的开口方向和形状都与抛物线y=

1

2

x²+3相同，它的对称轴是直线x=-2，它与x轴两个交点间的距离为2，求：
（1）一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根；
（2）该抛物线的解析式．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,待定系数法求二次函数解析式

专题：计算题

分析：（1）利用抛物线的对称性由抛物线的对称轴是直线x=-2，它与x轴两个交点间的距离为2，可确定抛物线与x轴的交点坐标为（-3，0）、（-1，0），
，然后根据抛物线与x轴的交点问题即可得到一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根；
（2）由于已知抛物线与x轴的交点坐标，可是交点式，再根据抛物线y=ax²+bx+c的开口方向和形状都与抛物线y=

1

2

x²+3相同得到a=

1

2

，从而即可得到所求抛物线的解析式．

解答：解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x=-2，它与x轴两个交点间的距离为2，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-3，0）、（-1，0），
∴一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根为x₁=-3，x₂=-1；
（2）设抛物线解析式为y=a（x+3）（x+1），
∵抛物线y=ax²+bx+c的开口方向和形状都与抛物线y=

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2

x²+3相同，
∴a=

1

2

，
∴抛物线解析式为y=

1

2

（x+3）（x+1）=

1

2

x²+2x+

3

2

．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系：△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数；△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．