Question

3．问题1：如图，我们将图（1）所示的凹四边形称为“镖形”．在“镖形”图中，∠AOC与∠A、∠C、∠P的数量关系为∠AOC=∠A+∠C+∠P．

问题2：如图（2），已知AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，∠B=28°，∠D=48°，求∠P的大小；
小明认为可以利用“镖形”图的结论解决上述问题：
由问题1结论得：∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC，
所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC，
即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC；
由“外角的性质”得：∠AOC=∠BAO+∠B，∠AOC=∠DCO+∠D．
所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D．
所以2∠APC=∠B+∠C．
请帮助小明完善上述说理过程，并尝试解决下列问题（问题1、问题2中得到的结论可以直接使用，不需说明理由）；
解决问题1：如图（3）已知直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，并说明理由；
解决问题2：如图（4），已知直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，则∠P与∠B、∠D的关系为∠P=90°+$\frac{1}{2}$（∠B+∠D）．

Answer 1

分析 问题1：根据三角形的外角的性质即可得到结论；
问题2：根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；
解决问题1：根据四边形的内角和等于360°可得（180°-∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+（180°-∠3）+∠D=360°，然后整理即可得解；
解决问题2：根据（1）的结论∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠PAD+∠P=∠D+∠PCD，然后整理即可得解．

解答 解：问题1：连接PO并延长．
则∠1=∠A+∠2，∠3=∠C+∠4，
∵∠2+∠4=∠P，∠1+∠3=∠AOC，
∴∠AOC=∠A+∠C+∠P；
故答案为：∠AOC=∠A+∠C+∠P；

问题2：如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠2+∠B=∠3+∠P，
∠1+∠P=∠4+∠D，
∴2∠P=∠B+∠D，
∴∠P=$\frac{1}{2}$（∠B+∠D）=$\frac{1}{2}$×（28°+48°）=38°；

解决问题1：如图3，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴（180°-2∠1）+∠B=（180°-2∠4）+∠D，
在四边形APCB中，（180°-∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，
在四边形APCD中，∠2+∠P+（180°-∠3）+∠D=360°，
∴2∠P+∠B+∠D=360°，
∴∠P=180°-$\frac{1}{2}$（∠B+∠D）；

解决问题2：如图4，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵（∠1+∠2）+∠B=（180°-2∠3）+∠D，
∠2+∠P=（180°-∠3）+∠D，
∴2∠P=180°+∠D+∠B，
∴∠P=90°+$\frac{1}{2}$（∠B+∠D）．
故答案为：∠P=90°+$\frac{1}{2}$（∠B+∠D）．

点评 本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8字形”的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．