Question

3．如图，正方形ABCD中，E为BC上一点．
（1）若AF平分∠DAE，求证：BE+DF=AE；
（2）若DF=CF，DC+CE=AE，求证：AF平分∠DAE．

Answer 1

分析 （1）如图1，延长CB到G，使BG=DF，连接AG，易证△ADF≌△ABG，得∠5=∠G，∠1=∠3，进而证明∠FAB=∠EAG，进而证明AE=EB+BG=EB+DF
（2）如图2，延长AF交BC的延长线于点G，由正方形的性质就可以得出△ADF≌△GCF，就有AD=CG，∠DAF=∠G，进而得出AE=GE，就有∠G=∠CAF，从而得出∠DAF=∠EAF而得出结论．

解答 证明：（1）延长CB到G，使BG=DF，连接AG（如图）
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABG=90°，
在△ADF和△ABG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠D=∠ABG}\\{DF=BG}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴∠5=∠G，∠1=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴∠2+∠4=∠3+∠4，
即∠FAB=∠EAG，
∵CD∥AB，
∴∠5=∠FAB=∠EAG，
∴∠EAG=∠G，
∴AE=EB+BG=EB+DF；
（2）延长AF交BC的延长线于点G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=DC，AD∥BC，
∴∠D=∠DCG=90°，∠DAF=∠G．
在△ADF和△GCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠DCG}\\{∠DAF=∠G}\\{DF=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△GCF（AAS），
∴AD=GC，
∴DC=GC．
∵DC+CE=AE，
∴GC+CE=AE，
∴GE=AE，
∴∠G=∠FAE，
∴∠DAF=∠EAF，
∴AF平分∠DAE．

点评 本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的性质的运用，角平分线的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键．