Question

6．已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=CD，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．
（1）△BFC与△DFC全等吗？试说明你的理由．
（2）AD与DE相等吗？试说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）由CF平分∠BCD可知∠BCF=∠DCF，然后通过SAS就能证出△BFC≌△DFC．
（2）要证明AD=DE，连接BD，证明△BAD≌△BED则可．根据AB∥DF，推出∠ABD=∠BDF，由于BF=DF，于是得到∠DBF=∠BDF，等量代换得到∠ABD=∠EBD，根据等腰三角形的性质得到BD=BD，即可得到∠BDA=∠DBC=∠BDC，于是得到结论．

解答 证明：（1）∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF=∠DCF．
在△BFC和△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠BCF=∠DCF}\\{FC=FC}\end{array}\right.$，
∴△BFC≌△DFC（SAS）．

（2）连接BD．
∵△BFC≌△DFC，
∴BF=DF，
∴∠FBD=∠FDB．
∵DF∥AB，
∴∠ABD=∠FDB．
∴∠ABD=∠FBD．
∵AD∥BC，
∴∠BDA=∠DBC．
∵BC=DC，
∴∠DBC=∠BDC．
∴∠BDA=∠BDC．
在△BAD与△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠FBD}\\{BD=BD}\\{∠ADB=BDC}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△BED（ASA），
∴AD=DE．

点评 此题考查了梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，利用数形结合的思想求解．