Question

如图，△ABC，△CEF均为等腰直角三角形，∠ABC=∠CEF=90°，C、B、E在同一直线上，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．延长BM交EF于点D．
求证：MB=MD=ME．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：首先通过全等三角形的判定定理ASA证得△ABM≌△FDM，则该全等三角形的对应边相等BM=MD，AB=DF．则易推知△BDE是等腰直角三角形，M为BD中点，故△BEM是等腰直角三角形，所以BM=EM，即MB=MD=ME．

解答：证明：∵∠ABC=∠CEF=90°，
∴AB⊥CE，EF⊥CE，
∴AB∥EF，
∴∠BAM=∠DFM，
∵M是AF的中点，∴AM=MF，
在△ABM和△FDM中，

∠BAM=∠DFM AM=FM ∠AMB=∠FMD

，
∴△ABM≌△FDM（ASA），
∴BM=MD，AB=DF．
∵BE=CE-BC，DE=EF-DF，
∴BE=DE，
∴△BDE是等腰直角三角形，M为BD中点，故△BEM是等腰直角三角形，
∴BM=EM，
即MB=MD=ME．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边、公共角以及对顶角，必要时添加适当辅助线构造三角形．