Question

11．如图，在正方形ABCD中，E、F是直线DC、CB上的点，且DE=CF，
（1）如图1，当E、F分别在DC、CB边上时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的关系（位置关系和数量关系），并说明理由．
（2）如图2，当E、F分别在DC、CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请直接回答“是”或“否”，不需证明）
（3）如图3，当E、F分别在CD、BC的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先证得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性质得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；
（2）由正方形的性质得出AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF，SAS证出△ADE≌△DCF，得出AE=DF，∠DAE=∠CDF，证出∠DAE+∠ADF=90°，得出AE⊥DF；
（3）由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF，延长FD交AE于点G，再由等角的余角相等可得AE⊥DF．

解答 解：（1）AE=DF，AE⊥DF；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°，
在△ADE和△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}&{\;}\\{∠ADC=∠C}&{\;}\\{DE=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，
由于∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠DAE+∠ADF=90°，
∴∠APD=90°，
∴AE⊥DF；
故答案为：AE=DF，AE⊥DF；

（2）是；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=∠DCF=90°，
在△ADE和△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}&{\;}\\{∠ADC=∠C}&{\;}\\{DE=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，
∵∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠DAE+∠ADF=90°，
∴AE⊥DF；
（3）成立；理由如下：
同（1）得：AE=DF，∠DAE=∠CDF，
延长FD交AE于点G，如图所示：
则∠CDF+∠ADG=90°，
∴∠ADG+∠DAE=90°，
∴∠AGD=90°，
∴AE⊥DF．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、互余两角的关系、垂线的证法等知识；本题难度较大，综合性强，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．