Question

19．如图，某同学自某观景平台AB上的A处看到有一个11阶的楼梯，他测得最上面楼梯角C的俯角为40°，最下面楼梯角D的俯角为45°，若每个台阶的高为15cm，宽为30cm，试求观景平台的高AB（同学身高忽略不计）．（结果精确到0.1，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，$\sqrt{2}≈1.41$）

Answer 1

分析 设AB=x，知AB=AD=x，作CE⊥BD、CF⊥AB，得出BF=CE=165cm、DE=330cm、AF=AB-BF=x-165，根据tan∠ACF=$\frac{AF}{CF}$可得$\frac{x-165}{x+330}=0.84$，解之即可得．

解答 解：如图，

设AB=x，
由题意知∠ACF=40°，∠DAB=∠ADB=45°，
则AB=AD=x，
作CE⊥BD于点E，作CF⊥AB于点F，
∴BF=CE=11×15=165cm，DE=30×11=330cm，
∴AF=AB-BF=x-165，
在Rt△ACF中，由tan∠ACF=$\frac{AF}{CF}$可得$\frac{x-165}{x+330}=0.84$，
解得：x≈2763.6（cm），
答：观景平台的高AB约为2763.6cm．

点评 本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，添加辅助线构建直角三角形并依据三角函数定义建立方程式解题的关键．