Question

7．已知：如图，?ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点．过点B作AC的平行线BF，交CE的延长线于点F，连接AF．
（1）求证：△FBE≌△COE；
（2）将?ABCD添加一个条件，使四边形AFBO是菱形，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由AAS证得两个三角形全等即可．
（2）当平行四边形ABCD的对角线相等，即平行四边形ABCD是矩形时，四边形AFBO是菱形．

解答 （1）证明：如图，取BC的中点G，连接EG．
∵E是BO的中点，
∴EG是△BFC的中位线，
∴EG=$\frac{1}{2}$BF．
同理，EG=$\frac{1}{2}$OC，
∴BF=OC．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，
∴BF=OC．
又∵BF∥AC，
∴∠FBE=∠COE．
在△FBE△COE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OEC=∠BEF}&{\;}\\{∠EOC=∠EBF}&{\;}\\{OC=BF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△FBE≌△COE（AAS）；
（2）解：当AC=BD时，四边形AFBO是菱形．理由如下：
∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=OB=OD，
∴平行四边形AFBO是菱形．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质以及菱形的判定，有利于学生思维能力的训练．涉及的知识点有：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；矩形的对角线相等．