Question

19．对于任意实数a、b、c、d，我们将式子$\left|\begin{array}{cc}a&b\\ c&d\end{array}\right|$称为二阶行列式，并且规定$\left|\begin{array}{cc}a&b\\ c&d\end{array}\right|=ad-bc$．
（1）计算$\left|\begin{array}{cc}2×{10}^{7}&3×{10}^{6}\\ 4×{10}^{6}&7×{10}^{5}\end{array}\right|$的值；
（2）若x²-3x-1=0，求$\left|\begin{array}{cc}x+1&3x\\ x-2&x-1\end{array}\right|$的值．
（3）若n为正整数，试说明$\left|\begin{array}{cc}2n+1&2n-1\\ 2n-1&2n+1\end{array}\right|$的值能被8整除．

Answer 1

分析 （1）原式利用已知的新定义化简，计算即可得到结果；
（2）原式利用已知的新定义化简，把已知等式变形后代入计算即可求出值；
（3）原式利用已知的新定义化简，即可做出判断．

解答 解：（1）根据题意得：原式=2×10⁷×7×10⁵-3×10⁶×4×10⁶=14×10¹²-12×10¹²=2×10¹²；
（2）∵x²-3x-1=0，即x²-3x=1，
∴原式=（x+1）（x-1）-3x（x-2）=-2x²+6x-1=-2（x²-3x）-1=-2×1-1=-3；
（3）原式=（2n+1）²-（2n-1）²=8n，
∵n为正整数，即8n能被8整除
∴$\left|\begin{array}{cc}2n+1&2n-1\\ 2n-1&2n+1\end{array}\right|$的值能被8整除．

点评 此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．