Question

8．如图，在△ABC中，以BC为直径作半圆O，交AB于点D，交AC于点E，AD=AE．
（1）求证：BD=CE；
（2）若S_△ABC=4S_△ADE，且DE=4，求⊙O半径的长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质，以及圆内接四边形的外角等于内对角，可证明∠ADE=∠AED=∠B=∠C，所以AB=AC，由此即可解决问题．
（2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可解决．

解答 （1）证明：∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∵∠ADE=∠C，∠AED=∠B，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，∵AD=AE，
∴BD=EC，
（2）解：由（1）可知∠ADE=∠AED=∠B，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}=（\frac{ED}{BC}）^{2}$，
∴$\frac{1}{4}$=（$\frac{4}{BC}$）²，
∴BC=8，
∴⊙O的半径为4．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、圆的内接四边形的性质、等腰三角形的性质等知识，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决问题的关键，属于中考常考题型．