题目内容
19．在平面直角坐标系中，抛物线y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x-2与x轴交与A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，连接BD（1）求点A，B，C的坐标．
（2）当点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l，交抛物线于点M，交直线BD于点N
①当点P在线段OB上运动时（不与O、B重合），求m为何值时，线段MN的长度最大，并说明此时四边形DCMN是否为平行四边形
②当点P的运动过程中，是否存在点M，使△BDM是以BD为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）利用抛物线解析式容易求得A、B、C的坐标；
（2）①可求得直线BD的解析式，利用m可表示出MN的长，则可利用二次函数的性质求得MN的最大值，再判断MN与CD是否相等即可；②由题意可知有BM⊥BD或DM⊥BD，当BM⊥BD时可设出M点的坐标，从而可表示出BP和MP的长，利用△OBD∽△PMB，可得到关于M点坐标的方程，从而可求得M点的坐标；当DM⊥BD时，由条件可知A点满足条件，由A、D坐标可求得直线AD解析式，联立直线AD和抛物线解析式，则可求得满足条件的M点的坐标．
解答 解：
（1）在y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x-2中，令y=0可得0=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x-2，解得x=-1或x=4，
∴A（-1，0），B（4，0），
在y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x-2中，令x=0可得y=-2，
∴C（0，-2）；
（2）①∵D与C关于x轴对称，
∴D（0，2），且B（4，0），
∴可设直线BD解析式为y=kx+2，把B点坐标代入可得4k+2=0，解得k=-$\frac{1}{2}$，
∴直线BD解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∵P（m，0），
∴N（m，-$\frac{1}{2}$m+2），M（m，$\frac{1}{2}$m2-$\frac{3}{2}$m-2），
∵P在线段OB上，
∴M在x轴下方，
∴MN=-$\frac{1}{2}$m+2-（$\frac{1}{2}$m2-$\frac{3}{2}$m-2）=-$\frac{1}{2}$m2+m+4=-$\frac{1}{2}$（m-1）2+$\frac{9}{2}$，
∵-$\frac{1}{2}$＜0，
∴当m=1时，MN有最大值，最大值为$\frac{9}{2}$，
∵CD=4≠MN，
∴四边形DCMN不是平行四边形；
②当△BDM是以BD为直角边的直角三角形时，只有MB⊥BD或DM⊥BD，
当MB⊥BD时，如图1，
设P（m，0），则M（m，$\frac{1}{2}$m2-$\frac{3}{2}$m-2），且B（4，0），D（0，2），
∴BP=|4-m|，PM=|$\frac{1}{2}$m2-$\frac{3}{2}$m-2|，OB=4，OD=2，
∵∠MBD=90°，
∴∠OBD+∠PBM=∠ODB+∠OBD=90°，
∴∠ODB=∠PMB，
∴△OBD∽△PMB，
∴$\frac{OB}{MP}$=$\frac{OD}{PB}$，即$\frac{4}{|\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{3}{2}m-2|}$=$\frac{2}{|m-4|}$，解得m=3或m=4（舍去），
∴M点坐标为（3，-2）；
当MD⊥BD时，如图2，
∵OA=1，OD=2，OB=4，
∴$\frac{OA}{OD}$=$\frac{OD}{OB}$，且∠AOD=∠BOD，
∴△AOD∽△DOB，
∴∠ADO=∠DBO，
∴∠ADB=∠ADO+∠BDO=∠DBO+∠BDO=90°，即AD⊥BD，
∴A点即为满足条件的M点，此时M坐标为（-1，0），
∵D（0，2），
∴可设直线AD解析式为y=kx+2，
把A点坐标代入可得0=-k+2，解得k=2，
∴直线AD解析式为y=2x+2，
联立直线AD和抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+2}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=18}\end{array}\right.$，
∴直线AD上的另一M点坐标为（8，18）；
综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（3，-2）或（-1，0）或（8，18）．
点评 本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象与坐标轴的交点、待定系数法、二次函数的性质、相似三角形的判定和性质、方程思想等知识．在（1）中注意函数图象与坐标轴交点的求法，在（2）中用m表示出MN的长是解题的关键，在（3）中确定出M的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
期末集结号系列答案| A． | 20 cm | B． | 5$\sqrt{3}$cm | C． | $\frac{5}{2}$$\sqrt{3}$ cm | D． | 5 cm |
| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{1}{4}$ | C． | $\frac{1}{3}$ | D． | $\frac{1}{6}$ |
如图，抛物线y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{5}{2}x$与x轴交于点A和原点O，点B（-8，n）在抛物线上，连接AB、OB．