Question

4．如图，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，其中∠ACB=∠BDE=90°，AC=BC，BD=ED，连接AE，点F是AE的中点，连接DF．
（1）如图1，若B、C、D共线，且AC=CD=2，求BF的长度；
（2）如图2，若A、C、F、E共线，连接CD，求证：DC=$\sqrt{2}$DF．

Answer 1

分析 （1）证明△ABE是直角三角形，求出AB、BE，理由勾股定理求出AE，再利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．
（2）作AM∥DE交DF的延长线于M，交BD于N，连接CM．只要证明△CDM，△CDF都是等腰直角三角形即可解决问题；

解答 解：（1）∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，
∴AC=BC=CD=2，BD=DE=4，BE=4$\sqrt{2}$，AB=2$\sqrt{2}$，∠ABC=∠DBE=45°，
∴∠ABE=90°，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+（4\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∵AF=EF，
∴BF=$\frac{1}{2}$AE=$\sqrt{10}$．

（2）作AM∥DE交DF的延长线于M，交BD于N，连接CM．

∵AM∥DE，
∴∠MAE=∠DEF，
在△AFM和△EFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAF=∠DEF}\\{AF=EF}\\{∠AFM=∠EFD}\end{array}\right.$，
∴△AFM≌△EFD，
∴AM=DE=BD，
∵∠BCE=∠BDE=90°，∠COB=∠DOE，
∴∠CBD=∠DEF=∠MAF．
在△ACM和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠MAC=∠CBD}\\{AM=BD}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△BCD，
∴∠ACM=∠BCD，CM=CD，
∴∠ACB=∠MCD=90°
∴△CDM是等腰直角三角形，
易知△BOC∽△EOD，
∴$\frac{OB}{EO}$=$\frac{CO}{OD}$，
∴$\frac{OB}{CO}$=$\frac{OE}{OD}$，
∴△BOE∽△COD，
∴∠DCO=∠OBE=45°，
∴∠FCD=∠FCM=45°，∵CM=CD，
∴FM=DF，CF⊥DM，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴CD=$\sqrt{2}$DF．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．