Question

10．已知关于x的方程x²+（2m-1）x+m²+2=0的两根为x₁，x₂，且两根的积是两根和的2倍．
（1）求m的值；
（2）求|x₁-x₂|的值．

Answer 1

分析 （1）原方程有实数根，则△≥0．结合两根的积是两根和的2倍来求m的值；
（2）利用完全平方公式的变形公式解答．

解答 （1）解：由题意：△=（2m-1）²-4（m²+2）≥0，
∴4m+7≤0，
∴m≤$\frac{7}{4}$．
又x₁+x₂=-（2m-1），x₁•x₂=m²+2，x₁•x₂=2（x₁+x₂），
∴m²+2=-2（2m-1），
∴m²+4m=0，
∴m₁=-4，m₂=0（舍），
∴m=-4；

（2）解：由m=-4，得
x₁+x₂=-（2m-1）=9，x₁•x₂=m²+2=18，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{{9}^{2}-4×18}$
=$\sqrt{9}$
=3．

点评 本题考查了根与系数的关系，根的判别式以及完全平方公式．解答（1）题时，注意m的取值还受约于根的判别式的符号．