Question

9．如图，抛物线y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{5}{2}x$与x轴交于点A和原点O，点B（-8，n）在抛物线上，连接AB、OB．
（1）n=4，OA=10；
（2）点C（m，0）在线段OA上运动（不与A、O重合），BD⊥BC，交y轴正半轴于点D，求△BCD的面积S与m的函数关系式，并求S的最小值；
（3）在（2）的条件下，是否存在△OCD与△OAB相似？若存在．请直按写出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过解方程$-\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{5}{2}x$=0可得A点坐标，从而得到OA的长；然后把B（-8，n）代入y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{5}{2}x$可求出n的值；
（2）设D（0，t），利用勾股定理得到（m+8）²+4²+8²+（t-4）²=m²+t²，则可用m表示t，即t=2m+10，所以D（0，2m+10），然后根据三角形面积公式，利用S_△BCD=S_△OBD+S_△BCD-S_△OCD可得到S=m²+16m+80，再利用二次函数的性质解决问题；
（3）先利用勾股定理的逆定理证明△AOB为直角三角形，∠ABO=90°，则∠COD=∠ABO，然后根据相似三角形的判定方法，当$\frac{OC}{AB}$=$\frac{OD}{BO}$时，△OCD∽△BAO或当$\frac{OC}{OB}$=$\frac{OD}{BA}$时，△OCD∽△BOA，于是利用相似比得到关于m的方程，则解方程可确定满足条件的m的值．

解答 解：（1）当y=0时，$-\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{5}{2}x$=0，解得x₁=0，x₂=10，则A（-10，0），
所以OA=10，
把B（-8，n）代入y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{5}{2}x$得n=-$\frac{1}{4}$×64+$\frac{5}{2}$×8=4；
故答案为4，10；
（2）设D（0，t），
∵BC²+BD²=CD²，
∴（m+8）²+4²+8²+（t-4）²=m²+t²，
∴t=2m+10，
即D（0，2m+10），
∵S_△BCD=S_△OBD+S_△BCD-S_△OCD，
∴S=$\frac{1}{2}$•（2m+10）•8+$\frac{1}{2}$•（-m）•4-$\frac{1}{2}$•（-m）•（2m+20）
=m²+16m+80
=（m+8）²+16，
当m=-8时，S有最大值，最大值为16；
（3）存在．
∵OA²=100，AB²=（-8+10）²+4²=20，OB²=8²+4²=80，
∴AB²+OB²=OA²，
∴△AOB为直角三角形，∠ABO=90°，
∵∠COD=∠ABO，
∴当$\frac{OC}{AB}$=$\frac{OD}{BO}$时，△OCD∽△BAO，
即$\frac{-m}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2m+20}{4\sqrt{5}}$，解得m=-5；
当$\frac{OC}{OB}$=$\frac{OD}{BA}$时，△OCD∽△BOA，
即$\frac{-m}{4\sqrt{5}}$=$\frac{2m+20}{2\sqrt{5}}$，解得m=-8，
综上所述，m的值为-8或-5时，△OCD与△OAB相似．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和相似三角形的判定方法；会利用待定系数法求函数解析式；学会用勾股定理的逆定理证明直角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会利用分类讨论的思想解决数学问题．