Question

1．已知，如图，B为坐标原点，A（0，3），D（10，0），E（10，8），点C是线段BD上的动点．
（1）求线段AB，ED的长．
（2）求满足△ABC与△CDE相似时的C点坐标．
（3）当△ABC与△CDE相似时，求△ABC与△CDE的面积之比．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件即可得到结论；
（2）分两种情况讨论：若△ABC与△CDE相似，设BC=x，则CD=10-x，①当AB与CD是对应边，根据相似三角形的性质得到比例式$\frac{AB}{CD}=\frac{BC}{DE}$，即$\frac{3}{10-x}=\frac{x}{8}$，解得：x=4，或x=6，即可求出结果，②当AB与ED是对应边，根据相似三角形的性质得到比例式$\frac{AB}{ED}=\frac{BC}{CD}$，即$\frac{3}{8}=\frac{x}{10-x}$，解得：x=$\frac{30}{11}$，即可得到结果；
（3）分三种情况：①当C（4，0）时，CD=6，当C（6，0）时，CD=4，③当AB与ED是对应边，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵B为坐标原点，A（0，3），D（10，0），E（10，8），
∴AB=3，ED=8；

（2）若△ABC与△CDE相似，设BC=x，则CD=10-x，
①当AB与CD是对应边，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{BC}{DE}$，即$\frac{3}{10-x}=\frac{x}{8}$，
解得：x=4，或x=6，
∴C（4，0），或（6，0）；
②当AB与ED是对应边，
∴$\frac{AB}{ED}=\frac{BC}{CD}$，即$\frac{3}{8}=\frac{x}{10-x}$，
解得：x=$\frac{30}{11}$，
∴C（$\frac{30}{11}$，0）；
综上所述：点C的坐标为：（4，0），（6，0），（$\frac{30}{11}$，0）；

（3）①当C（4，0）时，CD=6，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△CDE}}$=（$\frac{AB}{CD}$）²=$\frac{1}{4}$，
②当C（6，0）时，CD=4，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△CDE}}$=（$\frac{AB}{CD}$）²=$\frac{9}{16}$，
③当AB与ED是对应边，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△CDE}}$=（$\frac{AB}{DE}$）²=$\frac{9}{64}$，
综上所述：当△ABC与△CDE相似时，△ABC与△CDE的面积之比为：$\frac{1}{4}$，$\frac{9}{16}$，$\frac{9}{64}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，动点问题，找准对应边是解题的关键．