Question

20．如图，△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE=CF，求证：BD=DF．

Answer 1

分析 根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离即DE=CD，再根据HL证明Rt△CDF≌Rt△EBD，从而得出DF=BD．

解答 证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DC⊥AC于C，
∴DE=DC．
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DE}\\{∠C=∠DEB}\\{CF=BE}\end{array}\right.$
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（SAS），
∴DF=BD．

点评 本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．求得CD=DE是解答本题的关键．