Question

阅读下面的材料：
（1）锐角三角函数概念：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，称sinA=

a

c

，sinB=

b

c

是两个锐角∠A，∠B的“正弦”，特殊情况：直角的正弦值为1，即sin90°=1，也就是sinC=

c

c

=1．
由sinA=

a

c

，可得c=

a

sinA

；由sinB=

b

c

，可得c=

b

sinB

，
而c=

c

1

=

c

sin90°

=

c

sinC

，于是就有

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

（2）其实，对于任意的锐角△ABC，上述结论仍然成立，即三角形各边与对角的正弦之比相等，我们称之为“正弦定理”，我们可以利用三角形面积公式证明其正确性．
证明：如图1作AD⊥BC于D则在Rt△ABD中，sinB=

AD

c

，
∴AD=c•sinB，∴S_△ABC=

1

2

a•AD=

1

2

ac•sinB，
在Rt△ACD中，sinC=

AD

b

，∴AD=b•sinC．
∴S_△ABC=

1

2

a•AD=

1

2

ab•sinC．同理可得S_△ABC=

1

2

bc•sinA．
因此有S_△ABC=

1

2

ac•sinB=

1

2

ab•sinC=

1

2

bc•sinA．
也就是=ac•sinB=ab•sinC=bc•sinA．
每项都除以abc，得

sinB

b

=

sinC

c

=

sinA

a

，故

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

请你根据对上面材料的理解，解答下列问题：
（1）在锐角△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，c=2，求b；
（2）求问题（1）中△ABC的面积；
（3）求sin75°的值（以上均求精确值，结果带根号的保留根号）

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：阅读型

分析：（1）根据阅读材料得到

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，则

b

sin60°

=

2

sin45°

，可计算出b=

6

；
（2）作AD⊥BC于D，如图，在Rt△ABD中，利用余弦的定义得cosB=cos60°=

BD

AB

，可计算出BD=1，在Rt△ADC中，根据等腰直角三角形的性质得AD=CD=

2

2

AC=

3

，所以BC=BD+CD=

3

+1，然后根据三角形面积公式计算得到△ABC的面积=

3+ 3

2

；
（3）先根据三角形内角和定理得到∠A=180°-∠B-∠C=75°，再根据阅读材料得到△ABC的面积=

1

2

bcsinA，即

1

2

•

6

•2•sin75°=

3+ 3

2

，可计算出sin75°=

6 + 2

4

．

解答：解：（1）∵

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，
∴

b

sin60°

=

2

sin45°

，
∴b=

2× 3 2

2 2

=

6

；
（2）作AD⊥BC于D，如图，
在Rt△ABD中，cosB=cos60°=

BD

AB

=

BD

2

，
∴BD=1，
在Rt△ADC中，AD=CD=

2

2

AC=

2

2

×

6

=

3

，
∴BC=BD+CD=

3

+1，
∴△ABC的面积=

1

2

×

3

×（

3

+1）=

3+ 3

2

；
（3）∵∠B=60°，∠C=45°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=75°，
∴△ABC的面积=

1

2

bcsinA，
∴

1

2

•

6

•2•sin75°=

3+ 3

2

，
∴sin75°=

6 + 2

4

．

点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．