Question

为响应“大课间”活动，某学校准备购买棒球和篮球共200个，已知棒球每个55元，篮球每个95元，学校计划至少投入资金18200元，但不多于18300元．
（1）学校有多少种购买方案；
（2）哪种购买方案使学校投入资金最少？
（3）当学校按（2）的方案买回200个球在“大课间”投入使用后，学校领导根据实际情况发现还应同时购买足球和大绳若干，来补充“大课间”活动，所以又投入资金2880元，若每个足球80元，每条大绳30元，则在钱全部用尽的情况下有多少种购买方法，请直接写出购买方法的种数．

Answer 1

考点：一元一次不等式组的应用

专题：

分析：（1）设购买棒球x个，则购买篮球（200-x）个，根据总价等于两种球的价格之和建立不等式组求出其解即可；
（2）设学校的总投资为W元，根据总投资等于两种球的价格之和就可以表示出W与x的关系式，由一次函数的解析式就可以求出结论；
（3）设足球买a个，大绳b个，根据足球的费用+大绳的费用之和=2880元建立方程，解一个不定方程即可．

解答：解：（1）设购买棒球x个，则购买篮球（200-x）个，由题意，得

55x+95(200-x)≥18200 55x+95(200-x)≤18300

，
解得：17.5≤x≤20．
∵x为整数，
∴x=18，19，20．
∴购买方案有3种：
方案1，买棒球18个，买篮球182个，
方案2，买棒球19个，买篮球181个，
方案3，买棒球20个，买篮球180个，
（2）设学校的总投资为W元，由题意，得
W=55x+95（200-x）=-40x+19000，
∴k=-40＜0，
∴W随x的增大而减小，
∴当x=20时，w_最小=18200；
（3）设足球买a个，大绳b条，由题意，得
80a+30b=2880，
a=

288-3b

8

，
∵a≥0，b≥0，

288-3b

8

≥0，
∴b≤96．
∵80a≤2880，
∴a≤36，
∵a，b为整数，
∴288-3b是8的倍数，
∴3b是24的倍数，
∴288-3b=0，24，48，72，96，120，144，168，192，216，240，264，288，
∴b=96，88，80，72，64，56，48，40，32，24，16，8，0，
∴a=0，3，6，9，12，15，18，21，24.27，30，33，36，
∴共有12种购买方法：
1，足球买0个，大绳96条，
2，足球买3个，大绳88条，
3，足球买6个，大绳80条，
4，足球买9个，大绳72条，
5，足球买12个，大绳64条，
6，足球买15个，大绳56条，
7，足球买18个，大绳48条，
8，足球买21个，大绳40条，
9，足球买24个，大绳32条，
10，足球买27个，大绳24条，
11，足球买30个，大绳16条，
12，足球买33个，大绳8条，
13，足球买36个，大绳0条．

点评：本题考查了一元一次不等式组的解法的运用，方案设计的运用，一次函数的解析式的性质的运用，二元一次不定方程的解法的运用，解答时建立解析式是关键，解答不定方程是难点．