Question

如图，已知AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB∥OP，直线PB交直线AC于点D．
（1）证明：直线PB是⊙O的切线；
（2）若BD=2PA，OA=3，PA=4，求BC的长．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接OB．利用SAS证明△POB≌△POA，根据全等三角形对应角相等得出∠PBO=∠PAO=90°，即直线PB是⊙O的切线；
（2）根据△POB≌△POA得出PB=PA，由已知条件“BD=2PA”、等量代换可以求得BD=2PB；然后由相似三角形（△DBC∽△DPO）的对应边成比例可以求得BC=

2

3

PO，然后由勾股定理求出PO即可．

解答：（1）证明：连接OB．
∵BC∥OP，
∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠POB．
又　OC=OB，
∴∠BCO=∠CBO，
∴∠POB=∠POA．
在△POB与△POA中，

OB=OA ∠POB=∠POA PO=PO

，
∴△POB≌△POA（SAS），
∴∠PBO=∠PAO=90°，
∴PB是⊙O的切线；

（2）解：∵△POB≌△POA，
∴PB=PA．
∵BD=2PA，
∴BD=2PB．
∵BC∥OP，
∴△DBC∽△DPO，
∴

BC

PO

=

BD

PD

=

2

3

，
∴BC=

2

3

PO=

2

3

32+42

=

10

3

．

点评：本题考查了切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质及勾股定理．