Question

如图，已知AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于D，E两点，F为CE的中点，连接DF，DE．
（1）求证：△DEF为等腰三角形；
（2）判断DF与⊙O的位置关系并说明理由．

Answer 1

考点：切线的判定,等腰三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据等腰三角形的性质，由AB=AC得∠B=∠C，再根据圆内接四边形的性质得∠DEC=∠B，则∠DEC=∠C，于是根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）连结OD、AD，如图，先根据圆周角定理得∠ADB=90°，在利用等腰三角形的性质得BD=CD，于是判定OD为△ABC的中位线，则OD∥AC，接着根据等腰三角形的性质，由△DEC为等腰三角形，F为CE的中点得到DF⊥CE，所以OD⊥DF，然后根据切线的判定定理即可得到DF为⊙O的切线．

解答：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠DEC=∠B，
∴∠DEC=∠C，
∴△DEC为等腰三角形；
（2）解：DF与⊙O相切．理由如下：
连结OD、AD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵OA=OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵△DEC为等腰三角形，F为CE的中点，
∴DF⊥CE，
∴OD⊥DF，
∴DF为⊙O的切线．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等腰三角形的判定与性质．