Question

如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AB=8，点F是AB边的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论中正确的结论是

 

．
①△DFE是等腰直角三角形；       
②四边形CDFE不可能为正方形；
③DE长度的最小值是4；          
④四边形CDFE的面积保持不变；
⑤△CDE面积的最大值为4．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：如图，作辅助线；证明△ADF≌△CEF，进而得到DF=EF，四边形DCEF的面积=16，故①④正确；证明当FD⊥AC时，FD最小=4，四边形DCEF为正方形，同时△DCE的面积最大=8，故③正确，②⑤错误．

解答：解：如图，连接CF；
∵△ABC为等腰直角三角形，且点F为AB的中点，
∴∠A=45°，∠FCB=45°，AF=CF；
在△ADF与△CEF中，

AD=CE ∠A=∠FCE AF=CF

，
∴△ADF≌△CEF（SAS），
∴DF=EF，S_△ADF=S_△CEF，
∴S四边形DCEF=S△ACF=

1

2

S△ABC=

1

2

×

1

2

×8×8=16，
故①④正确；
当FD⊥AC时，DF最小，此时，
∵∠DCE=∠CDF=∠CEF，且DF=EF，
∴四边形DCEF为正方形，
故②错误；
当FD⊥AC时，∵CF=AF，
∴AD=CD=4，故③正确；
∵四边形DCEF的面积为定值，
∴当△DEF的面积最小时，△DCE的面积最大，
而△DEF的面积最小值=

1

2

×4×4=8，
∴△DCE的面积最大值=16-8=8，
故⑤错误，
∴综上所述，正确结论是：①③④．
答案为①③④．

点评：该题主要考查了全等三角形的判定、正方形的判定、等腰直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握全等三角形的判定、正方形的判定、等腰直角三角形的性质．