Question

15．b，c是实数，且a=b+c+1，求证：两个方程x²+x+b=0与x²+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根．

Answer 1

分析 假设两方程均没有两个不相等实数根，化简得出矛盾，从而得出结论．

解答 证明：假设两方程均没有两个不相等实数根，
则对于x²+x+b=0，△=1-4b≤0，化简可得b≥$\frac{1}{4}$．
∵a=b+c+1，∴a≥c+$\frac{5}{4}$．
对于x²+ax+c=0，△′=a²-4c≤0，即a²≤4c，
∴4c≥c²+$\frac{5}{2}$ c+$\frac{16}{25}$，即  （c-$\frac{3}{4}$）²+1≤0，矛盾，
故两个一元二次方程x²+x+b=0，x²+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根．

点评 本题主要考查用裂项法进行数列求和，用反证法证明数学命题，属于中档题．