题目内容
16．
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（-2，-2），半径为$\sqrt{2}$．函数y=-x+2图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为线段AB上一动点（包括端点）．（1）连接CO，求证：CO⊥AB；
（2）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数；
（3）当直线PO与⊙C相交时，设交点为E、F，点M为线段EF的中点，令PO=t，MO=s，求s与t之间的函数关系，并写出t的取值范围；
（4）请在（3）的条件下，直接写出点M运动路径的长度．
分析 （1）延长CO交AB于D，过点C作CG⊥x轴于点G，根据题意求得坐标A，B，继而求出∠DAO=45°．然后根据点C的坐标求出CG=OG=2，故求得∠COG=45°，∠AOD=45°后可知∠ODA=90°，证得CO⊥AB．
（2）利用切线的性质以及点的坐标性质得出∠POA的度数；
（3）根据已知得出△COM∽△POD，进而得出MO•PO=CO•DO，即可得出s与t的关系，进而求出t的取值范围；
（4）由题意可知点M的运动轨迹是以点Q为圆心（Q点为OC与⊙C的交点），$\sqrt{2}$为半径的一段圆弧，得出答案即可．
解答 解：
（1）延长CO交AB于D，过点C作CG⊥x轴于点G．
如图1
∵易得A（2，0），B（0，2），
∴AO=BO=2．
又∵∠AOB=90°，
∴∠DAO=45°．
∵C（-2，-2），
∴∠COG=45°，∠AOD=45°，
∴∠ODA=90°．
∴OD⊥AB，
即CO⊥AB．
（2）当直线PO与⊙C相切时，设切点为K，连接CK，如图2
则CK⊥OK．由点C的坐标为（-2，-2），易得CO=2$\sqrt{2}$．
∴∠POD=30°，又∠AOD=45°，
∴∠POA=75°，
同理可求得∠POA的另一个值为15°．
（3）∵M为EF的中点，
∴CM⊥EF，
又∵∠COM=∠POD，CO⊥AB，
∴△COM∽△POD，
∴$\frac{CO}{PO}=\frac{MO}{DO}$，
即MO•PO=CO•DO．
∵PO=t，MO=s，CO=2$\sqrt{2}$，DO=$\sqrt{2}$，
∴st=4．
但PO过圆心C时，MO=CO=2$\sqrt{2}$，PO=DO=$\sqrt{2}$，
即MO•PO=4，也满足st=4．
∴s=$\frac{4}{t}$，
∵OP最小值为$\sqrt{2}$，当直线PO与⊙C相切时，∠POD=30°，
∴PO=$\frac{\sqrt{2}}{cos30°}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴t的取值范围是：$\sqrt{2}$≤t＜$\frac{2\sqrt{6}}{3}$；
（4）由（3）可得，点M的运动路线是以点Q为圆心（Q点为OC与⊙C的交点），$\sqrt{2}$为半径的一段圆弧，
可得⊙C和⊙Q是两个等圆，可得∠GQK=120°
弧GQK为实际运动路径，弧长=$\frac{2\sqrt{2}π}{3}$．
点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质和切线的性质定理和弧长公式的应用等知识，利用数形结合分类讨论思想得出是解题关键．
阅读快车系列答案
如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
如图，等边△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且AD=AE，则△ADE的形状为等边三角形．