Question

4．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；
（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E≠∠F，∠A与∠E、∠F有何关系？请求出他们的关系式．

Answer 1

分析 （1）由∠E=∠F，易得∠ADC=∠ABC，又由圆的内接四边形的性质，即可求得答案；
（2）根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果；
（3）连结EF，根据圆内接四边形的性质得∠ECD=∠A，再根据三角形外角性质得∠ECD=∠1+∠2，则∠A=∠1+∠2，然后根据三角形内角和定理有∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD=180°，即2∠A+∠AEB+∠AFD=180°，再解方程即可．

解答 解：（1）证明：
∵∠E=∠F，∠DCE=∠BCF，∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠BCF+∠F，
∴∠ADC=∠ABC，
（2）由（1）知∠ADC=∠ABC，
∵∠EDC=∠ABC，
∴∠EDC=∠ADC，
∴∠ADC=90°，
∴∠A=90°-42°=48°；
（3）连结EF，如图，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠ECD=∠A，
∵∠ECD=∠1+∠2，∴∠A=∠1+∠2，
∵∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD=180°，
∴2∠A+∠AEB+∠AFD=180°，
即∠A=90°-$\frac{1}{2}$（∠AEB+∠AFD）．

点评 本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．