Question

5．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，连接BP、CP．试问：∠ABP+∠ACP的度数是定值吗？请证明你的结论．

Answer 1

分析 作PE⊥AB于E，PF⊥AC交AC的延长线于F，根据线段垂直平分线的性质得到PB=PC，根据角平分线的性质，得到PE=PF，证明Rt△PEB≌Rt△PFC即可．

解答 答：∠ABP+∠ACP=180°，
证明：作PE⊥AB于E，PF⊥AC交AC的延长线于F，
∵AP是∠BAC的平分线，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴PE=PF，
∵点P在BC的垂直平分线上，
∴PB=PC，
在Rt△PEB和Rt△PFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{PE=PF}\\{PB=PC}\end{array}\right.$，
∴Rt△PEB≌Rt△PFC，
∴∠ABP=∠FCP，又∠FCP+∠ACP=180°，
∴ABP+∠ACP=180°．

点评 本题考查的是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等、角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．