Question

20．如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．
（1）求证：∠DAE=∠DCE；
（2）当∠G=30°时，求$\frac{DF}{FC}$的值．

Answer 1

分析 （1）通过全等三角形的判定定理SAS判定△DAE≌△DCE，然后根据全等三角形的对应角相等知∠DAE=∠DCE；
（2）设正方形ABCD的边长为a，由已知条件可求出DF，CF的长，进而可求出其比值．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴∠ADE=∠CDE（正方形的对角线平分对角），AD=DC，
在△DAE和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠ADE=∠CDE}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△DCE （SAS），
∴∠DAE=∠DCE（全等三角形的对应角相等）；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADF=∠FCG=90°，AD∥BC，
设正方形边长为a，
∵∠G=30°，
∴∠DAF=30°，
∴DF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∴CF=DC-DF=a-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$a，
∴$\frac{DF}{CF}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及特殊角的三角函数值，本题综合比较强，考查了学生对于知识的综合运用能力．