Question

20．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E．
（1）求证：OC=$\frac{1}{2}$DE；
（2）若AB=5，BD=8，求△BDE的周长．

Answer 1

分析 （1）只要证明OC是△BDE的中位线即可．
（2）在RT△AOB中求出OA，再求出DE、BE即可解决问题．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
∵DE∥OC，
∴BC=BE，
∴OC=$\frac{1}{2}$DE．
（2）解：在RT△AOB中，∵AB=5，OB=$\frac{1}{2}$BD=4，
∴AO=OC=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=3，
∴DE=2OC=6，
∵BE=2BC=2AB=10，
∴△DBE周长=8+6+10=24．

点评 本题考查菱形的性质、三角形中位线定理、三角形周长等知识，解题的关键是证明点C是BE中点，记住菱形的对角线互相垂直，属于中考常考题型．